sexta-feira, 2 de dezembro de 2011

Continuação....


Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:
O determinante duma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos duma qualquer linha ou coluna pelos respetivoscomplementos algébricos.[1]
O complemento algébrico dum elemento ai,j duma matriz e o número A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j}\,\!, sendo MC_{i,j}\,\! o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.
Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante duma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.
A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.


Exemplo

Seja a matriz
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}
Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:
\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} + \,
 a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} + \,
 a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} + \,
 a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4} \, ,
onde Ai,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.
Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:
\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\  a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j} \, .


Matrizes n por n

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.
A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz An por n é
\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.\


Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:
  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
  • Multiplicar uma linha por um número real \lambda \, não nulo, multiplica o determinante por \lambda \, (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).
Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:
 \begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,
 L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1 \,
 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,
L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1}  \land  L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1}\,
 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,
L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} =
2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,
 L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2}\,
 = 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} \, = 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224\,

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Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz A \, de ordem n = 1 \,, é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a_{11}] \, temos que o determinante é o número real a_{11} \,:
det(M) = a_{11} \,.
Por exemplo:
A = ( 3 ) \, , então det(A) = 3 \, .

Determinante de matriz de ordem 2

A area do paralelogramo é o determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc .
Por exemplo, o determinante da matriz \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2 \, .


Determinante de matriz de terceira ordem


O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.
Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:
\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + dbi) .
  • Por exemplo:
 A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow  \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
 \det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ((0 . 1 .10) + (2 . 10 . 1) + (10 . (-1) . 3)) \,
 = (10 + 0 + (-20)) - ((0 + 20 + (-30))\,

Determinantes

Em matemáticadeterminante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.


DEFINIÇÃO:

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:
  1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.
Esta função chama-se determinante.
O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A)
PROPRIEDADES:
  1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);
  3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
  4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
  6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
  7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
  8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
  9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
  10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
  11. Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
  12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±                                                                                                                                                                      

Sistema Linear Parte 9

Sistema Linear Parte 8


Sistema Linear Parte 7

Sistema Linear Parte 6

Sistema Linear Parte 5

Sistema Linear Parte 4

Sistema Linear Parte 3

Sistema Linear Parte 2

Sistema Linear Parte1

Sistemas Lineares



Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0



Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 


Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1



Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear 

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.


Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1
1
3
1
-1
1

Matriz incompleta

1
1
1
-1


Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Matriz completa
 
110-12120
4-2-2060
-11510

Matriz incompleta
1
10
-12
4
-2
-20
-1
1
5


 
Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Equação matricial do sistema:

                                                                             




Matriz (Parte 3)

Operações envolvendo matrizes 

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número kqualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
Por exemplo:
2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A +B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].
Por exemplo:

  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.
Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:
 (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j] \,\!
para cada par i e j.
Por exemplo:

  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}

= 
  \begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}
É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠BA.

Matriz (Parte 2)

Matriz identidade

matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo
I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.
Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordemm por n.

Matriz inversa

Uma matriz A − 1 é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial A.A − 1 = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é amatriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.
A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A}), pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.


Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que a^{t}_{ij} = a_{ji}, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ãoelementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da nlinha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}


Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz (Parte 1)

NOTAÇÃO

As sequências horizontais da matriz são chamadas de linhas e as sequências verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

A = \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{bmatrix}
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (FortranMATLABR, etc) ou a partir de 0 (Ce seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.