Sistema Linear Parte 5

Sistema Linear Parte 4

Sistema Linear Parte 3

Sistema Linear Parte 2

Sistema Linear Parte1

Sistemas Lineares

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0


Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1


Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear 

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1	1	3
1	-1	1

Matriz incompleta

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa
 

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

 

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

                                                                             

Matriz (Parte 3)

Operações envolvendo matrizes 

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número kqualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A +B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

para cada par i e j.

Por exemplo:

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠BA.