Estudando Matemática: 2011

sexta-feira, 2 de dezembro de 2011

Continuação....

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante duma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos duma qualquer linha ou coluna pelos respetivoscomplementos algébricos.^[1]

O complemento algébrico dum elemento

a i, j

duma matriz e o número $A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j}\,\!$ , sendo $MC_{i,j}\,\!$ o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante duma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Exemplo

Seja a matriz

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}$

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

$\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} + \,$

$a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} + \,$

$a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} + \,$

$a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4} \,$ ,

onde A_−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$ $= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j} \,$ .

Matrizes $n$ por $n$

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A,

n

por

n

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.\$

Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
Multiplicar uma linha por um número real $\lambda \,$ não nulo, multiplica o determinante por $\lambda \,$ (propriedade 6);
Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,$

$L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1 \,$

$= 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,$

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1} \land L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1}\,$

$= 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,$

$L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} =$

$2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}\,$

$L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2}\,$

$= 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} \,$ $= 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224\,$

Continuação....

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz $A \,$ de ordem $n = 1 \,$ , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem $M=[a_{11}] \,$ temos que o determinante é o número real $a_{11} \,$ :

$det(M) = a_{11} \,$ .

Por exemplo:

$A = ( 3 ) \,$ , então $det(A) = 3 \,$ .

Determinante de matriz de ordem 2

A area do paralelogramo é o determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

$\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ .

Por exemplo, o determinante da matriz $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ é dado por: $0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2 \,$ .

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

$\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + dbi)$ .

Por exemplo:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$

$\det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ((0 . 1 .10) + (2 . 10 . 1) + (10 . (-1) . 3)) \,$

$= (10 + 0 + (-20)) - ((0 + 20 + (-30))\,$

Determinantes

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

DEFINIÇÃO:

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
f(I_n) = 1, onde I_n é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A)

PROPRIEDADES:

O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(A^T);
Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
Se A é invertível, então det(A⁻¹) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
Se A é ortogonal, então det(A) = ±

Sistema Linear Parte 9

Sistema Linear Parte 8

Sistema Linear Parte 7

Sistema Linear Parte 6

Sistema Linear Parte 5

Sistema Linear Parte 4

Sistema Linear Parte 3

Sistema Linear Parte 2

Sistema Linear Parte1

Sistemas Lineares

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0

Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1	1	3
1	-1	1

Matriz incompleta

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Matriz (Parte 3)

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número kqualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A +B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \,\!$

para cada par i e j.

Por exemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠BA.

Matriz (Parte 2)

Matriz identidade

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

$I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MI_n = I_mM = M para qualquer matriz M de ordemm por n.

Matriz inversa

Uma matriz

A - 1

é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial

A . A - 1 = I

, ou seja, se o produto entre as matrizes é amatriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A})$ , pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que $a^{t}_{ij} = a_{ji}$ , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ãoelementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da nlinha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se A = A^t. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz (Parte 1)

NOTAÇÃO

As sequências horizontais da matriz são chamadas de linhas e as sequências verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_i,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo,

a i j = i + j

, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$ .

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (Ce seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

sexta-feira, 2 de dezembro de 2011

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Exemplo

Matrizes n por n

Cálculo de determinantes por triangularização

Determinante de uma matriz de ordem 1

Determinante de matriz de ordem 2

Determinante de matriz de terceira ordem

Operações envolvendo matrizes

Multiplicação por um escalar

Adição e subtração entre matrizes

Multiplicação de matrizes

Matriz identidade

Matriz inversa

Matriz transposta

Matriz simétrica

Pesquisar este blog

Matrizes $n$ por $n$