Determinantes

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.


DEFINIÇÃO:

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
2. f(I_n) = 1, onde I_n é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A)

PROPRIEDADES:

1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(A^T);
3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
11. Se A é invertível, então det(A⁻¹) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±