Estudando Matemática: Continuação....

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante duma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos duma qualquer linha ou coluna pelos respetivoscomplementos algébricos.^[1]

O complemento algébrico dum elemento

a i, j

duma matriz e o número $A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j}\,\!$ , sendo $MC_{i,j}\,\!$ o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante duma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Exemplo

Seja a matriz

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}$

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

$\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} + \,$

$a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} + \,$

$a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} + \,$

$a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4} \,$ ,

onde A_−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$ $= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j} \,$ .

Matrizes $n$ por $n$

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A,

n

por

n

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.\$

Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
Multiplicar uma linha por um número real $\lambda \,$ não nulo, multiplica o determinante por $\lambda \,$ (propriedade 6);
Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}\,$