Matriz (Parte 3)

Operações envolvendo matrizes 

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número kqualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A +B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

para cada par i e j.

Por exemplo:

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠BA.